本解説では、cos 2° = 0.99939…を算出する仕方について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求め方を説明していきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、cos2°の算出方法紹介です。
$$\cos 2°=0.99939…$$
10桁のcos 2°を確認
早速ですが、cos 2°を10桁調べてみましょう！$$\cos 2° = 0.999390827 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos2°の値を求める
三角関数表を使用せずにcos2°の値を算出する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。
2の手法だと、計算過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。
マクローリン展開でcos2°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 2°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.034906…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 2°\)を求められます。
$$\cos 2° = 0.99939…$$
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