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三角関数表のコサインの表におけるcos20°の求め方

それでは、cos 20° = 0.939692…を電卓で計算する処理方法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の求める方法を紹介していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、cos20°の計算の仕方紹介です。

$$\cos 20°=0.939692…$$

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10位までcos 20°を調べる

最初に、cos 20°を10桁表してみましょう!$$\cos 20° = 0.9396926207 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos20°の値を解く

三角関数表を使わずにcos20°の値を求める方法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使用して20°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開でcos20°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 20°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.349065…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 20°\)を求められます。

$$\cos 20° = 0.939692…$$

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