今回は、cos 204° = -0.913546…を三角関数表を使わずに求める仕方について解き明かしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の計算方法を明らかにしていきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、cos204°の計算の仕方紹介です。
$$\cos 204°=-0.913546…$$
cos 204°を10桁確認
早速ですが、cos 204°を10桁確認してみましょう！$$\cos 204° = -0.9135454577 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos204°の値を算出する
三角関数表を参照せずにcos204°の値を計算するやり方は3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。
2の方法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。
マクローリン展開でcos204°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 204°$$
この式を計算すると、
$弧度法=3.560471…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 204°\)を求められます。
$$\cos 204° = -0.913546…$$
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