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三角関数表のコサインの表におけるcos21°の求め方

今回は、cos 21° = 0.93358…を算出するやり方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の計算の仕方を説明していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、cos21°の計算方法説明です。

$$\cos 21°=0.93358…$$

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cos 21° を10桁確認

最初に、cos 21°を10桁書いてみましょう!$$\cos 21° = 0.9335804264 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos21°の値を算出する

三角関数表を参照せずにcos21°の値を解くやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して21°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開でcos21°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 21°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.366519…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 21°\)を求められます。

$$\cos 21° = 0.93358…$$

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