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三角関数表のコサインの表におけるcos22°を簡単導出!

このページでは、cos 22° = 0.927183…を計算する処理方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の算出方法を解説していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos22°の求める方法説明です。

$$\cos 22°=0.927183…$$

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10桁のcos 22°を確認

まずは、cos 22°を10桁調べてみましょう!$$\cos 22° = 0.9271838545 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos22°の値を算出する

三角関数表を確認せずにcos22°の値を計算する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使って22°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、導出過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos22°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 22°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.383972…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 22°\)を求められます。

$$\cos 22° = 0.927183…$$

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