本解説では、cos 224° = -0.71934…を計算する仕方について説明します。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算方法を明らかにしていきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
・・・ | ・・・ | ||
cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos224°の計算方法説明です。
$$\cos 224°=-0.71934…$$
10桁のcos 224°を確認
まずは、cos 224°を10桁表してみましょう!$$\cos 224° = -0.7193398004 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos224°の値を解く
三角関数表を使用せずにcos224°の値を解くやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。
2のやり方だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。
マクローリン展開でcos224°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 224°$$
この式を計算すると、
$弧度法=3.909537…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 224°\)を求められます。
$$\cos 224° = -0.71934…$$
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