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三角関数表のコサインの表におけるcos224°の解き方

本解説では、cos 224° = -0.71934…を計算する仕方について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算方法を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos224°の計算方法説明です。

$$\cos 224°=-0.71934…$$

目次

10桁のcos 224°を確認

まずは、cos 224°を10桁表してみましょう!$$\cos 224° = -0.7193398004 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos224°の値を解く

三角関数表を使用せずにcos224°の値を解くやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を活用して224°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos224°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 224°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.909537…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 224°\)を求められます。

$$\cos 224° = -0.71934…$$

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