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三角関数表のコサインの表におけるcos225°の解き方

今回は、cos 225° = -0.707107…を求める手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の計算方法を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、cos225°の計算の仕方解説です。

$$\cos 225°=-0.707107…$$

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10位までcos 225°を書いてみる

最初に、cos 225°を10桁表してみましょう!$$\cos 225° = -0.7071067812 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos225°の値を求める

三角関数表を確認せずにcos225°の値を計算するやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器を活用して225°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos225°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 225°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.92699…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 225°\)を求められます。

$$\cos 225° = -0.707107…$$

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