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三角関数表のコサインの表におけるcos23°|マクローリン展開で解く

このページでは、cos 23° = 0.920504…を電卓で計算する処理方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求める方法を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
この記事では、cos23°の計算の仕方説明です。

$$\cos 23°=0.920504…$$

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10桁のcos 23°を書いてみる

早速ですが、cos 23°を10桁表してみましょう!$$\cos 23° = 0.9205048534 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos23°の値を解く

三角関数表を活用せずにcos23°の値を解くやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を活用して23°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。

マクローリン展開でcos23°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 23°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.401425…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 23°\)を求められます。

$$\cos 23° = 0.920504…$$

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