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三角関数表のコサインの表におけるcos230°の求め方

本解説では、cos 230° = -0.642788…を算出するやり方について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の計算の仕方を解説していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos230°の求め方解説です。

$$\cos 230°=-0.642788…$$

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cos 230°を10桁確認

まずは、cos 230°を10桁調べてみましょう!$$\cos 230° = -0.6427876097 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos230°の値を計算する

三角関数表を参照せずにcos230°の値を算出する手法は大きく3つあります。

  1. 分度器を使用して230°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。

マクローリン展開でcos230°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 230°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.014257…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 230°\)を求められます。

$$\cos 230° = -0.642788…$$

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