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三角関数表のコサインの表におけるcos231°の計算方法

この記事では、cos 231° = -0.629321…を計算する方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の求める方法を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、cos231°の求め方解説です。

$$\cos 231°=-0.629321…$$

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cos 231°を10桁確認

早速ですが、cos 231°を10桁表してみましょう!$$\cos 231° = -0.6293203911 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos231°の値を算出する

三角関数表を使用せずにcos231°の値を算出するやり方は3つあります。

  1. 分度器を使用して231°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、導出過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos231°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 231°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.03171…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 231°\)を求められます。

$$\cos 231° = -0.629321…$$

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