本解説では、cos 238° = -0.52992…を三角関数表を使わずに求める手法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求め方を紹介していきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
このページでは、cos238°の求め方説明です。
$$\cos 238°=-0.52992…$$
10桁のcos 238°を確認
初めに、cos 238°を10桁表してみましょう！$$\cos 238° = -0.5299192643 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos238°の値を求める
三角関数表を確認せずにcos238°の値を解く手法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。
2の手法だと、導出が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。
マクローリン展開でcos238°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 238°$$
この式を計算すると、
$弧度法=4.153883…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 238°\)を求められます。
$$\cos 238° = -0.52992…$$
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