それでは、cos 24° = 0.913545…を電卓で計算する方法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算方法を解説していきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos24°の求め方説明です。
$$\cos 24°=0.913545…$$
10位までcos 24°を確認
初めに、cos 24°を10桁確認してみましょう！$$\cos 24° = 0.9135454576 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos24°の値を解く
三角関数表を使用せずにcos24°の値を解くやり方は3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。
2の方法だと、導出過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。
マクローリン展開でcos24°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 24°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.418879…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 24°\)を求められます。
$$\cos 24° = 0.913545…$$
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