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三角関数表のコサインの表におけるcos24°を導出する

それでは、cos 24° = 0.913545…を電卓で計算する方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の計算方法を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos24°の求め方説明です。

$$\cos 24°=0.913545…$$

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10位までcos 24°を確認

初めに、cos 24°を10桁確認してみましょう!$$\cos 24° = 0.9135454576 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos24°の値を解く

三角関数表を使用せずにcos24°の値を解くやり方は3つあります。

  1. 分度器を使用して24°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos24°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 24°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.418879…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 24°\)を求められます。

$$\cos 24° = 0.913545…$$

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