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三角関数表のコサインの表におけるcos240°を求める方法

今回は、cos 240° = -0.500001…を求める処理方法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の求める方法を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、cos240°の算出方法説明です。

$$\cos 240°=-0.500001…$$

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cos 240° を10桁書いてみる

早速ですが、cos 240°を10桁確認してみましょう!$$\cos 240° = -0.5000000001 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos240°の値を求める

三角関数表を使用せずにcos240°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器を使用して240°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos240°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 240°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.18879…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 240°\)を求められます。

$$\cos 240° = -0.500001…$$

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