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三角関数表のコサインの表におけるcos244°の導出

それでは、cos 244° = -0.438372…を三角関数表を使わずに求める仕方について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の求める方法を説明していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos244°の求め方解説です。

$$\cos 244°=-0.438372…$$

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10位までcos 244°を書いてみる

まずは、cos 244°を10桁表してみましょう!$$\cos 244° = -0.4383711468 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos244°の値を明らかにする

三角関数表を確認せずにcos244°の値を求める方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して244°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を駆使して計算する
  3. マクローリン展開に弧度法の角度を代入して求める

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、導出過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開でcos244°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 244°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.258603…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 244°\)を求められます。

$$\cos 244° = -0.438372…$$

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