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三角関数表のコサインの表におけるcos25°の計算方法

このページでは、cos 25° = 0.906307…を求めるやり方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の計算の仕方を説明していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
このページでは、cos25°の求め方紹介です。

$$\cos 25°=0.906307…$$

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10桁のcos 25°を調べる

最初に、cos 25°を10桁書いてみましょう!$$\cos 25° = 0.906307787 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos25°の値を算出する

三角関数表を使用せずにcos25°の値を解くやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器を活用して25°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos25°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 25°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.436332…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 25°\)を求められます。

$$\cos 25° = 0.906307…$$

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