この記事では、cos 251° = -0.325569…を三角関数表を使わずに求める手法について解説していきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の算出方法を明らかにしていきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、cos251°の計算方法紹介です。
$$\cos 251°=-0.325569…$$
10桁のcos 251°を調べる
最初に、cos 251°を10桁表してみましょう！$$\cos 251° = -0.3255681545 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos251°の値を解く
三角関数表を参照せずにcos251°の値を計算する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。
2のやり方だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。
マクローリン展開でcos251°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 251°$$
この式を計算すると、
$弧度法=4.380776…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 251°\)を求められます。
$$\cos 251° = -0.325569…$$
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