三角関数表のコサインの表におけるcos255°の求め方

本解説では、cos 255° = -0.25882…を計算する手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の求め方を明らかにしていきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度	値	角度	値
cos1°	0.999847	cos2°	0.99939
cos3°	0.998629	cos4°	0.997564
・・・		・・・
cos30°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	cos45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	cos90°	0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、cos255°の計算の仕方紹介です。

$$\cos 255°=-0.25882…$$

10位までcos 255°を調べる

初めに、cos 255°を10桁調べてみましょう！$$\cos 255° = -0.2588190452 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos255°の値を解く

三角関数表を使用せずにcos255°の値を算出するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、途中の計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos255°を求める

マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 255°$$

この式を計算すると、
$弧度法=4.450589…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 255°\)を求められます。

$$\cos 255° = -0.25882…$$