それでは、cos 269° = -0.017453…を求める手法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の算出方法を紹介していきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
この記事では、cos269°の求める方法紹介です。
$$\cos 269°=-0.017453…$$
10桁のcos 269°を書いてみる
初めに、cos 269°を10桁確認してみましょう！$$\cos 269° = -0.0174524065 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos269°の値を算出する
三角関数表を活用せずにcos269°の値を求めるやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2の手法だと、計算が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。
マクローリン展開でcos269°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 269°$$
この式を計算すると、
$弧度法=4.694935…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 269°\)を求められます。
$$\cos 269° = -0.017453…$$
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