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三角関数表のコサインの表におけるcos315°を求める方法

この記事では、cos 315° = 0.707106…を算出する処理方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の計算の仕方を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
このページでは、cos315°の計算方法解説です。

$$\cos 315°=0.707106…$$

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cos 315°を10桁調べる

早速ですが、cos 315°を10桁確認してみましょう!$$\cos 315° = 0.7071067811 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos315°の値を求める

三角関数表を確認せずにcos315°の値を求めるやり方は3つあります。

  1. 分度器を活用して315°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos315°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を解くことができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 315°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.497787…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 315°\)を求められます。

$$\cos 315° = 0.707106…$$

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