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三角関数表のコサインの表におけるcos320°の導出

本解説では、cos 320° = 0.766044…を電卓で計算するやり方について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、cos320°の算出方法解説です。

$$\cos 320°=0.766044…$$

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cos 320° を10桁確認

唐突ではありますが、cos 320°を10桁書いてみましょう!$$\cos 320° = 0.7660444431 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos320°の値を明らかにする

三角関数表を使用せずにcos320°の値を算出する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器用いて320°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、計算過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でcos320°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 320°$$

この式を計算すると、
$弧度法=5.585053…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 320°\)を求められます。

$$\cos 320° = 0.766044…$$

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