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三角関数表のコサインの表におけるcos34°の解き方

このページでは、cos 34° = 0.829037…を求める方法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の求め方を解説していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
本解説では、cos34°の計算方法解説です。

$$\cos 34°=0.829037…$$

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cos 34° を10桁表す

まずは、cos 34°を10桁書いてみましょう!$$\cos 34° = 0.8290375725 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos34°の値を計算する

三角関数表を使用せずにcos34°の値を計算するやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器用いて34°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos34°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 34°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.593411…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 34°\)を求められます。

$$\cos 34° = 0.829037…$$

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