今回は、cos 345° = 0.965925…を算出する方法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の計算の仕方を解説していきます。
コサインの表とはこのような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
・・・ | ・・・ | ||
cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、cos345°の計算方法説明です。
$$\cos 345°=0.965925…$$
cos 345° を10桁調べる
唐突ではありますが、cos 345°を10桁確認してみましょう!$$\cos 345° = 0.9659258262 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos345°の値を算出する
三角関数表を参照せずにcos345°の値を計算するやり方は大きく3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。
2の手法だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。
マクローリン展開でcos345°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 345°$$
この式を計算すると、
$弧度法=6.021385…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 345°\)を求められます。
$$\cos 345° = 0.965925…$$
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