本解説では、cos 40° = 0.766044…を計算する手法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の計算方法を紹介していきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
今回は、cos40°の計算の仕方紹介です。
$$\cos 40°=0.766044…$$
cos 40°を10桁表す
早速ですが、cos 40°を10桁表してみましょう！$$\cos 40° = 0.7660444431 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos40°の値を計算する
三角関数表を参照せずにcos40°の値を算出するやり方は大きく3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。
2のやり方だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。
マクローリン展開でcos40°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 40°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.698131…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 40°\)を求められます。
$$\cos 40° = 0.766044…$$
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