三角関数表のコサインの表におけるcos48°の導出

今回は、cos 48° = 0.66913…を電卓で計算する手法について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の計算方法を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、cos48°の算出方法紹介です。

$$\cos 48°=0.66913…$$

cos 48°を10桁表す

まずは、cos 48°を10桁書いてみましょう！$$\cos 48° = 0.6691306063 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を確認せずにcos48°の値を解く手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開を使うと下記の式で$\cos x$を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$によって、$\cos x$の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 48°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.837758…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 48°$を求められます。

$$\cos 48° = 0.66913…$$