本解説では、cos 60° = 0.5…を三角関数表を使わずに求めるやり方について解説していきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の求める方法を明らかにしていきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
角度 | 値 | 角度 | 値 |
---|---|---|---|
cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
・・・ | ・・・ | ||
cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos60°の計算方法紹介です。
$$\cos 60°=0.5…$$
10位までcos 60°を確認
まずは、cos 60°を10桁確認してみましょう!$$\cos 60° = 0.5 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos60°の値を計算する
三角関数表を使わずにcos60°の値を計算する方法は3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。
2の方法だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。
マクローリン展開でcos60°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 60°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.047197…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 60°\)を求められます。
$$\cos 60° = 0.5…$$
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