三角関数表のコサインの表におけるcos67°を解く

このページでは、cos 67° = 0.390731…を算出するやり方について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の求め方を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、cos67°の計算の仕方説明です。

$$\cos 67°=0.390731…$$

10桁のcos 67°を調べる

最初に、cos 67°を10桁書いてみましょう！$$\cos 67° = 0.3907311284 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使用せずにcos67°の値を求める方法は3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開より、下記の式で$\cos x$を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$から$\cos x$の値を解くことができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 67°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.16937…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 67°$を求められます。

$$\cos 67° = 0.390731…$$