今回は、cos 77° = 0.224951…を電卓で計算する方法について説明します。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求め方を紹介していきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos77°の計算の仕方説明です。
$$\cos 77°=0.224951…$$
cos 77° を10桁確認
唐突ではありますが、cos 77°を10桁確認してみましょう！$$\cos 77° = 0.2249510543 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos77°の値を明らかにする
三角関数表を使わずにcos77°の値を算出する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2の方法だと、計算過程がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。
マクローリン展開でcos77°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 77°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.343903…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 77°\)を求められます。
$$\cos 77° = 0.224951…$$
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