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三角関数表のコサインの表におけるcos8°を導出する

このページでは、cos 8° = 0.990268…を電卓で計算する手法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の計算方法を紹介していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、cos8°の求め方説明です。

$$\cos 8°=0.990268…$$

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10桁のcos 8°を表す

最初に、cos 8°を10桁調べてみましょう!$$\cos 8° = 0.9902680687 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos8°の値を明らかにする

三角関数表を確認せずにcos8°の値を求める手法は3つあります。

  1. 分度器を活用して8°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式に値を代入して計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開でcos8°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)から\(\cos x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 8°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.139626…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 8°\)を求められます。

$$\cos 8° = 0.990268…$$

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