三角関数表のコサインの表におけるcos80°を導出する

この記事では、cos 80° = 0.173648…を三角関数表を使わずに求める仕方について共有します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の計算方法を説明していきます。

コサインの表とはこのような表のことです。

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、cos80°の計算方法紹介です。

$$\cos 80°=0.173648…$$

10桁のcos 80°を調べる

唐突ではありますが、cos 80°を10桁表してみましょう！$$\cos 80° = 0.1736481776 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使用せずにcos80°の値を解く手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。

マクローリン展開によって、下記の式で$\cos x$を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$を使うと$\cos x$の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 80°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.396263…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 80°$を求められます。

$$\cos 80° = 0.173648…$$