三角関数表のコサインの表におけるcos81°を求める方法

この記事では、cos 81° = 0.156434…を三角関数表を使わずに求める手法について解き明かしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の求め方を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、cos81°の計算の仕方説明です。

$$\cos 81°=0.156434…$$

10位までcos 81°を表す

唐突ではありますが、cos 81°を10桁表してみましょう！$$\cos 81° = 0.156434465 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を確認せずにcos81°の値を計算する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開を使うと下記の式で$\cos x$を明らかにすることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$から$\cos x$の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 81°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.413716…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 81°$を求められます。

$$\cos 81° = 0.156434…$$