それでは、cos 82° = 0.139173…を電卓で計算する方法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求める方法を解説していきます。
コサインの表とは下のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、cos82°の計算の仕方説明です。
$$\cos 82°=0.139173…$$
10桁のcos 82°を確認
まずは、cos 82°を10桁表してみましょう！$$\cos 82° = 0.1391731009 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos82°の値を解く
三角関数表を参照せずにcos82°の値を計算する方法は3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、答えは近似値になります。
2の手法だと、途中の計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。
マクローリン展開でcos82°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)が分かれば\(\cos x\)の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 82°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.431169…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 82°\)を求められます。
$$\cos 82° = 0.139173…$$
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