三角関数表のコサインの表におけるcos84°の導出

今回は、cos 84° = 0.104528…を算出する方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の求める方法を紹介していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

参考書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、cos84°の計算の仕方説明です。

$$\cos 84°=0.104528…$$

cos 84° を10桁表す

唐突ではありますが、cos 84°を10桁表してみましょう！$$\cos 84° = 0.1045284632 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を活用せずにcos84°の値を解くやり方は3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。

マクローリン展開によって、下記の式で$\cos x$を算出することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$を使うと$\cos x$の値を求めることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 84°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.466076…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 84°$を求められます。

$$\cos 84° = 0.104528…$$