三角関数表のサインの表におけるsin52°の導出

本解説では、sin 52° = 0.78801…を電卓で計算する手法について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の計算の仕方を説明していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin52°の計算方法説明です。

$$\sin 52°=0.78801…$$

sin 52° を10桁書いてみる

最初に、sin 52°を10桁書いてみましょう！$$\sin 52° = 0.7880107536 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使わずにsin52°の値を計算するやり方は3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開によって、下記の式で$\sin x$を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$を代入すると$\sin x$の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 52°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.907571…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 52°$を求められます。

$$\sin 52° = 0.78801…$$