tan(タンジェント)を微分する方法2つ!【実は簡単】

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\(\tan x\)の微分の式

$$(\tan x)’=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

tan(タンジェント)を微分すると、\(\frac{1}{\cos^2 x}\)になる公式は割と有名です。しかし、実際に微分の計算となると、知識がないと少し難しいかなと思います。

 

そこで、この記事では

の2通りで\(\tan x\)を微分します。

くりまろ
くりまろ

微分には\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)の式を使うよ!

トムくん
トムくん

【三角関数の関係公式】でしっかり復習してきた!

 

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商の微分公式でtan xを微分する

 

商の微分公式$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

※詳しい解説-<関数の商の導関数(微分)【使い方4ステップと証明】>

商の微分公式は、分数を微分するときに使います。

トムくん
トムくん

なんかややこしいなぁ

式はややこしいですが、実はかなり簡単です。ナント4つの作業をこなすだけで終わりです!

  1. 分母を2乗して分母にする
  2. 分子を微分して分母と掛ける
  3. 分母を微分して分子と掛ける
  4. ②から③を引く

詳しい解説
関数の商の導関数(微分)【使い方4ステップと証明】

では、これを\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)に当てはめましょう!

トムくん
トムくん

分母を2乗して・・・

$$(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{\cos^2 x+\sin^2x}{\cos^2 x}$$

\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)なので、$$(\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}$$微分完了です!

トムくん
トムくん

おー!思ったより簡単だ!

くりまろ
くりまろ

次は定義通りにやるから少し難しいかもだよー

定義通りにtan xを微分する

 

微分の定義\begin{eqnarray}f'(x) = \frac{ df }{ dx } = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x }\end{eqnarray}
»«

これに\(\tan x\)を当てはめます。

ここで、\(\tan (x+\Delta x)\)があるので加法定理で展開します!

加法定理$$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$$
詳しい解説»加法定理の証明と覚え方を詳しく解説!«

あとはチャカチャカ計算していきます。

$$\begin{eqnarray}
(\tan x)’ &=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x + \Delta x) – f(x) }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ \tan (x + \Delta x) – \tan x }{ \Delta x } \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\tan x+\tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}- \tan x\right)  \\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 }\frac{1}{\Delta x}\frac{\tan \Delta x+\tan^2 x \tan \Delta x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&=& \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\tan \Delta x}{\Delta x}\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan \Delta x}\\
&=& 1・\frac{1}{1-0}・(1+\tan^2 x)\\
&=& 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}
\end{eqnarray}$$

さいごに

\(\tan x\)(タンジェント)の微分の計算自体はそこまで難しくありません。定義通りにやると少し厄介ですが・・・

商の導関数(微分)を使っても、三角関数などの式の変形を知っておかないとツマづいてしまいます。

おや?と思った変形があったら復習しておきましょう!

くりまろ
くりまろ

確かに式の変形は多いよね

トムくん
トムくん

ちょっと加法定理復習してくるー!

コメント