[数2]三角関数の合成の公式と証明、最大最小、cosの計算も解説

「合成」は2つのものを合わせて１つにするという意味がありますね。

三角関数の合成とは、2つの三角関数で作られた式を、１つの三角関数に「まとめる」変形方法です。

この記事では、三角関数の合成の公式と証明を紹介します。
また、練習問題では、2通りの解き方を解説しています。

合成を理解していないと解けない問題も多くあります。
この記事を読んで合成の基本をしっかりマスターしてくださいね！

三角関数の合成とは

三角関数の合成とは、$\sin{\theta+\sqrt3}\cos{\theta}$のようにsinθとcosθが混ざっている足し算や引き算の式を、sinだけもしくは、cosだけにまとめることです。

加法定理は、sinだけの式からsin,cosを組み合わせた足し算や引き算に変形する公式でしたが、合成はその逆のイメージになります。
合成の公式の証明では、加法定理を使うので、一度復習しておくといいでしょう。

※参考記事
[数2]加法定理の応用｜倍角の公式、半角の公式、和積の公式、積和の公式

三角関数の合成

三角関数の合成の公式は以下の通りです。

$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{\left(\theta+\alpha\right)}$
ただし、αは次の式を満たす角である。
$\cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

三角関数を合成は、$y=\sin{\theta+\sqrt3}\cos{\theta}$の最大値、最小値を求めたり、グラフをかくときに利用できます。

三角関数の合成の証明

三角関数の合成公式の証明をします。

右辺は、sinの加法定理から下記のように書ける。

αについて、$\cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ であるから、

この証明からわかるように合成は、加法定理の逆ともいえます。

練習問題1

それでは問題を解いてみましょう。2通りの解法を解説します。

《問題1》

$\sin{\theta+\sqrt3}\cos{\theta}$をrsin(θ+α)の形に表せ。ただし、r>0,-π＜α≦πとする。

解法１|図と公式を利用する方法

《答》$\sin{\theta+\sqrt3}\cos{\theta}=2\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$

《解説》
$a\sin{\theta+b\cos{\theta}}$の合成の手順を確認しておきましょう。

1. 座標平面上に点P(a,b)をとる。
2. 長さOP=\sqrt{a^2+b^2} と、なす角αの角度を求める。
3. 公式で1つの式にまとめる。

では、手順に沿って解いてみましょう。

図のように座標平面上に点P$\left(1,\sqrt3\right)$をとります。

$α＝60°＝\frac{\pi}{3}$であることが分かります。
$OP=\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=\sqrt4=2$となります。

三角関数の合成公式$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{\left(\theta+\alpha\right)}$より、$\sin{\theta+\sqrt3}\cos{\theta}=2\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$となり合成ができました。

図を使って導くやり方は、効率よく時間もかからないですね。

解法２|加法定理の公式を利用し、式を変形する方法

手順は以下の通りです。

1. $\sqrt{a^2+b^2}$でくくる。
2. 加法定理の右辺の形になるように式を整理する。
3. 加法定理の左辺にすると合成完成。

このように加法定理の逆の考え方になります。

$1\cdot\sinθ+3\cdot\cosθ$を$\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=2$でくくります
$2\left(\frac{1}{2}\sin{\theta+\frac{\sqrt3}{2}}\cos{\theta}\right)=2\left(\sin{\theta\cdot\frac{1}{2}+\cos{\theta\cdot\frac{\sqrt3}{2}}}\right)$

加法定理の式になるように$cosα=\frac{1}{2}$と$sinα=\frac{\sqrt3}{2}$となるαを考えます。
$α＝\frac{\pi}{3}$ですね。

よって
\begin{eqnarray} \sin{\theta+\sqrt3}\cos{\theta} &=&2\left(\sin{\theta}\cdot\cos{\frac{\pi}{3}+\cos{\theta\cdot\sin{\frac{\pi}{3}}}}\right)\\&=&2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\end{eqnarray}

加法定理を覚えていれば、このように変形して合成をすることができます。

2通りの方法を解説しました。自分に合った方法で解けるようにしましょう！

三角関数の最大値・最小値

最大値,最小値を求める問題は、三角関数の合成を使った代表的な問題です。
例題を解いて理解していきましょう。

詳しい解説は下記の記事が参考になります。

※参考記事
三角関数の最大値・最小値｜三角関数の合成で求める方法【テスト対策】

《問題》

関数$\sin{\theta+\sqrt3}\cos{\theta}$の最大値,最小値を求めよ。

《解説》

$y=\sin{\theta+\sqrt3\cos{\theta=2\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}}}$( ←合成です。)
$-1\leqq\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}\leqq1$( ←－1≦sinα≦1ですね。)

であるから、

$-2\leqq2\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}\leqq2$( ←すべて2倍します。)

よって$y$の最大値は2,　最小値は－2である。

cosの三角関数の合成

三角関数の合成といえば、sinが一般的ですが、cosでも合成できます。

$β$は$Q(b,\ a)$とおいて、動径$OQ$の表す角です。
$a\sin{\theta+b\cos{\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos{\left(\theta-\beta\right)}}}$
ただし、βは次の式を満たす角である。
$\sin{\beta}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} , \cos{\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

cosの合成の公式では、Qの座標のaとbが入れ替わっているところがポイントです。
aとｂの入れ替えによって、$\sin{\beta}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos{\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$と表すことができます。

公式と図を使って問題を解いてみましょう。

《問題》

$-\sqrt3\sin{\theta+\cos{\theta}}$をrcos(θ+β)の形に表せ。ただし、r>0,-π＜β≦πとする。

座標平面上に点$Q\left(1\ ,\ -\sqrt3\right)$をとります。（$-\sqrt3\sin{\theta+1\cos{\theta}}$のaとｂをいれかえ）
$β＝-60°＝-\frac{\pi}{3}$であることが分かります。
$OQ=\sqrt{1^2+\left(-\sqrt3\right)^2}=\sqrt4=2$となります。

$a\sin{\theta+b\cos{\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos{\left(\theta-\beta\right)}}}$にあてはめて

\begin{eqnarray}
&&-\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta}\\
&=&2\cos{\left\{\theta-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right\}}\\
&=&2\cos{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}
\end{eqnarray}

合成ができました。

三角関数の合成とは、まとめ

三角関数の合成について解説しました。
ポイントは下記の3つです。

1. 三角関数の合成はsin,cosの足し算や引き算を、どちらか1つの三角関数にまとめることです。
2. 三角関数の合成には、公式を使う方法と、加法定理を利用して変形する方法の2通りあります。
3. cosの合成の公式も加法定理を利用して導くことができます。公式を覚えて使ってみましょう。

入試では、三角関数の合成を知っておかないと解けない問題が出題されます。今回紹介した内容は合成の基本です。

まずは基本からしっかりマスターして、試験で使えるようにしましょう。