三角関数の最大値・最小値を求める方法の中でも、今回は三角関数の合成を使う求め方を解説します。
例えば、
$$y=\sin x-\cos x$$
の最大値・最小値を求めるイメージですね。
三角関数の合成とは
$$a\sin x+b\cos y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha)$$
ただし、
\begin{eqnarray} \cos α &=& \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin α &=&\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray}
このように、\(a\sin x+b\cos y\)の形を、\(\sin\)だけで表すことができるのが、三角関数の合成です。
三角関数の合成の証明
三角関数の合成の証明です。
三角関数の合成は加法定理と直角三角形の性質を使うことで証明ができます。
詳しい三角関数の合成の証明については、別記事にまとめました。
三角関数の合成で最大値・最小値を求める
本題の三角関数の合成を使って、最大値・最小値を求めていきましょう！
例題１
$$y=\sin x-\cos x$$
の最大値・最小値を求め、その時の\(x\)の値を求めよ。
まずは、$$y=\sin x-\cos x$$
を\(\sin\)の形に合成します。
解答１
$$\sin x-\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+α)$$
とする。
この時\(a=1,\ b=-1\)であるから、
\begin{eqnarray}
\sin x-\cos x
&=&\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+α)\\
&=&\sqrt{2}\sin(x+α)\\\\\\
\cos α=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\\\\
\sin α=\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}\\
\end{eqnarray}
より、\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}<α<0\)なので、\(α=-\displaystyle \frac{\pi}{4}\)である。
以上より、
$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)$$
である。
\(-1≦\sin x≦1\)なので、\(-\sqrt{2}≦y≦\sqrt{2}\)となる。
以上より、
\(x=-\displaystyle \frac{\pi}{4}\)のとき、最小値\(y=-\sqrt{2}\)
\(x=\displaystyle \frac{3\pi}{4}\)のとき、最大値\(y=\sqrt{2}\)
である。
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三角関数の合成｜最大値・最小値 まとめ
三角関数の合成を使った、最大値と最小値の求め方を解説してきました。
三角関数の合成とは、\(a\sin x+b\cos y\)の形を、\(\sin\)だけで表すことができる方法です。
また、三角関数の合成を使えば、複雑な式も最大値・最小値を求めることができるようになります！
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