[数2]加法定理の応用｜倍角の公式、半角の公式、和積の公式、積和の公式

\begin{eqnarray}
\sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\\ \\
\cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\\ \\
\tan (A \pm B) &=& \displaystyle \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
\end{eqnarray}

加法定理を証明する方法

1. 三角形の面積を使う方法
2. 2点間の距離の公式と余弦定理を使う方法
3. オイラーの公式を使う方法

加法定理の証明

ある三角形ABCの面積を計算します。

三角形を２つに分けて、\(△ABD\)と\(△ACD\)の面積を出して足す方法で求めます！

高さ\(AD\)が\(AD=c \cos α=b \cos β\)であることを利用する。

面積\(S\)＝底辺×高さ÷２なので、

\begin{eqnarray}
S&=& \displaystyle \frac{1}{2}\cdot c \sin α\cdot b\cos β+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot b \sin β\cdot c\cos α \\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}bc\ (\sin α \cos β+\cos α \sin β）
\end{eqnarray}

次に、三角形の図に補助線を引いて、面積を求めます。

右図のように、\(B\)から線\(b\)に垂線を引いて、高さとします。\(b\)が底辺です。

すると、面積\(S\)は以下のように計算できます。

$$S=\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c \sin (α+β)$$

先ほど求めた面積とこの面積は等しいので、イコールで結びます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c \sin (α+β)&=&\displaystyle \frac{1}{2}bc\ (\sin α \cos β+\cos α \sin β）\\\\
∴\ \sin (α+β)&=&\sin α \cos β+\cos α \sin β
\end{eqnarray}

加法定理を応用した代表的な公式

1. 倍角（二倍角）の公式
2. 半角の公式
3. 和積の公式
4. 積和の公式

＋αで3倍角の公式も有名！

２倍角の公式とは

\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\ \\
(b)\ \cos 2\theta &=&\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\\
&=& 2\cos^2 \theta-1\\
&=&1-2\sin^2 \theta\\\\
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}

2倍角の公式とは\((a),\ (b),\ (c)\)の3つの式から成る公式である。

半角の公式とは

\begin{eqnarray}
\sin^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{2}\\\\
\cos^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1+\cos \theta}{2}\\\\
\tan^2 \displaystyle \frac{\theta}{2} &=& \displaystyle \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

積和の公式とは

三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の積を和に直す公式

\begin{eqnarray}
\sin A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}&\cdots(1)& \\
\cos A\sin B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}&\cdots(2)&\\
\cos A\cos B &=& &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}&\cdots(3)&\\
\sin A\sin B &=&- &\displaystyle \frac{1}{2}&\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}&\cdots(4)&
\end{eqnarray}

和積の公式とは

三角関数の\(\sin A\), \(\cos B\)の和を積に直す公式

\begin{eqnarray}
(1)\ \sin x+\sin y &=& 2\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2} \\
(2)\ \sin x-\sin y &=& 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
(3)\ \cos x+\cos y &=& 2{\cos\displaystyle \frac{x+y}{2}\cos \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
(4)\ \cos x-\cos y &=& -2{\sin\displaystyle \frac{x+y}{2}\sin \displaystyle \frac{x-y}{2}} \\
\end{eqnarray}

3倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 3\theta &=& 3\sin \theta-4\sin^3 \theta \\
\cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta-3\cos \theta \\
\tan 3\theta&=& \displaystyle \frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}

三角関数の合成とは

$$a\sin x+b\cos y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha)$$

ただし、
\begin{eqnarray} 　\cos α &=& \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin α &=&\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{eqnarray}

三角関数の合成で最大値・最小値を求める手順

1. 三角関数の合成で式を\(\sin\)だけにする
2. グラフを書く
3. グラフから最大値・最小値を求める

• 加法定理は６つの式があり、３つの方法で証明できる
• 応用公式は４つ＋αあり、様々な場面で活用できる
• 三角関数の合成も加法定理で証明でき、最大値・最小値を求めるなどの嬉しい使い方がある