【積分】xsinxの積分|部分積分法を使うやり方

今回は\(x\sin x\)を積分する方法の解説です。
部分積分法を使って、下記の式、\(x\sin x\)の積分を解説していきます!

$$\displaystyle\int x\sin x dx=-x\cos x+\sin x$$

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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部分積分法|不定積分

不定積分の部分積分法は下記の通りです。

不定積分の部分積分法

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

部分積分の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>部分積分法の解説<

【積分】部分積分法の証明|不定積分・定積分の両方の場合を解説
今回は部分積分法の証明です。部分積分は不定積分の場合と定積分の場合の2パターンあるので、両方とも解...

それでは\(\displaystyle\int x\sin x dx\)に部分積分法を適用して計算してみましょう。

xsinxの積分

\(f(x)\)と\(g(x)\)についてまとめると、下記の通りになります。

\(f(x)=x,\ f'(x)=1\)
\(g(x)=\sin x,\ G(x)=-\cos x\)

部分積分法に代入すると下記の通りに計算できます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx\\\\
\displaystyle\int x \sin x dx&=&x \cos x-\displaystyle\int 1\cdot \cos x dx\\
&=& -x\cos x-(-\sin x)\\
&=&-x\cos x+\sin x \end{eqnarray}


部分積分のポイントは\(-\displaystyle\int f'(x)G(x)\)の\(f'(x)\)の次数を小さくして、計算しやすくすることです。
ちなみに\(f(x)=\sin x,\ g(x)=x\)とした場合どうなるかみてみましょう。

xsinxの積分|別バージョン

\(f(x)=\sin x,\ f'(x)=cos x\)
\(g(x)=x,\ G(x)=\displaystyle \frac{1}{2}x^2\)

上記のように\(f(x)\)と\(g(x)\)をおいて計算してみます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx\\\\
\displaystyle\int x \sin x dx&=&\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \sin x-\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{2}x^2\cdot \cos x \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}x^2 \sin x-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int x^2 \cos x dx\\
&=&\cdots
\end{eqnarray}


これ以上は計算しませんが、\(\displaystyle\int\)の中の次数が増えていき、計算が終わりそうにありません。
\(\sin x\)は4回微分すると、元に戻って循環してしまうのが原因です。

\(\sin x\)を微分すると、下記のようになるため、いつまでも\(\displaystyle\int\)の中がなくならないのです。
\(\sin x\rightarrow\cos x\rightarrow -\sin x\rightarrow -\cos x\rightarrow \sin x\)

\(f(x)\)と\(g(x)\)の選択を間違うと、永遠に終わらない計算となってしまいます。
「積分が終わらないぞ!」と思ったら、計算をやり直すようにしましょう!

今回は以上です。

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

三角関数の微分クイズ!

Q1

□に入るのは?
$(\sin x)’=□$

$\cos x$

$-\sin x$

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