[積分]xsinx｜xサインxを部分積分法で計算する方法

今回は$x\sin x$を積分する方法の解説です。
部分積分法を使って、下記の式、$x\sin x$の積分を解説していきます！

$$\displaystyle\int x\sin x dx=-x\cos x+\sin x$$

※読みやすさの関係上、積分定数の$C$は省略して解説します。

部分積分法｜不定積分

不定積分の部分積分法は下記の通りです。

不定積分の部分積分法

$\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)$とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

部分積分の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>部分積分法の解説<

xsinxの積分

$f(x)$と$g(x)$についてまとめると、下記の通りになります。

$f(x)=x,\ f'(x)=1$
$g(x)=\sin x,\ G(x)=-\cos x$

部分積分法に代入すると下記の通りに計算できます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx\\\\
\displaystyle\int x \sin x dx&=&x \cos x-\displaystyle\int 1\cdot \cos x dx\\
&=& -x\cos x-(-\sin x)\\
&=&-x\cos x+\sin x \end{eqnarray}

部分積分のポイントは$-\displaystyle\int f'(x)G(x)$の$f'(x)$の次数を小さくして、計算しやすくすることです。
ちなみに$f(x)=\sin x,\ g(x)=x$とした場合どうなるかみてみましょう。

xsinxの積分｜別バージョン

$f(x)=\sin x,\ f'(x)=cos x$
$g(x)=x,\ G(x)=\displaystyle \frac{1}{2}x^2$

上記のように$f(x)$と$g(x)$をおいて計算してみます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx\\\\
\displaystyle\int x \sin x dx&=&\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \sin x-\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{2}x^2\cdot \cos x \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}x^2 \sin x-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int x^2 \cos x dx\\
&=&\cdots
\end{eqnarray}

これ以上は計算しませんが、$\displaystyle\int$の中の次数が増えていき、計算が終わりそうにありません。
$\sin x$は４回微分すると、元に戻って循環してしまうのが原因です。

$\sin x$を微分すると、下記のようになるため、いつまでも$\displaystyle\int$の中がなくならないのです。
$\sin x\rightarrow\cos x\rightarrow -\sin x\rightarrow -\cos x\rightarrow \sin x$

$f(x)$と$g(x)$の選択を間違うと、永遠に終わらない計算となってしまいます。
「積分が終わらないぞ！」と思ったら、計算をやり直すようにしましょう！

今回は以上です。

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください！

>>【公式】三角関数の積分30選<<