【積分】x cos2xを部分積分法で積分するやり方【工学博士監修】

今回は\(x\cos 2x\)を積分する方法の解説です。
部分積分法を使って、下記の積分を解説していきます。

$$\displaystyle\int x\cos 2x dx=\displaystyle \frac{1}{4}(\cos 2x+2x\sin 2x)$$

トムソン
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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部分積分法|不定積分

不定積分の部分積分法は下記の通りです。

不定積分の部分積分法

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

部分積分の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>部分積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int x\cos 2x dx\)に部分積分法を適用して計算してみましょう。

\(x\cos 2x\)の積分|部分積分法

\(f(x)=x,\ g(x)=\cos 2x\)として、第1公式

\(\displaystyle\int f(x)g(x)dx = f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx\)を用います。

\(f'(x)=1,\ G(x)=\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2x\)を代入すると、下記の式の通り積分できます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx& =& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x)dx\\ \\
\displaystyle\int x\cos 2x dx&=& x\cdot \displaystyle \frac{1}{2}\sin 2x
-\displaystyle\int 1 \cdot\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2x dx\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}x\sin 2x
-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int \sin 2xdx\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}x\sin 2x
-\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \displaystyle \frac{1}{2}(-\cos 2x) \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}x\sin 2x+\displaystyle \frac{1}{4}\cos 2x\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(\cos 2x+2x\sin 2x)\end{eqnarray}

\(x \cos 2x\)の積分のポイント

上記の積分のポイントは\(\cos 2x\)の積分で、係数の\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が付く点です。
合成関数の微分法より、\(2x=t\)と置いて\(y=\cos 2x\)を微分してみましょう。

\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{dy}{dt}\displaystyle \frac{dt}{dx} \\ \\
&=& \sin t\cdot 2\\
&=& 2\sin 2x \end{eqnarray}

上記の微分のように、\(\cos 2x\)を微分すると係数の\(2\)が出てきます。
積分では、\(2\)をキャンセルするために\(\displaystyle \frac{1}{2}\)が付くことになります。

今回は以上です!

三角関数の積分公式を1記事にまとめた解説もありますので、よかったらご利用ください!

>>【公式】三角関数の積分30選<<

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