【中1数学】円とおうぎ形|円周の長さ、弧の長さ、面積の公式を解説

今回のテーマは『平面図計|円とおうぎ形』です。

解説する内容はこちら!

解説する内容!
    • 円の基本用語
    • 円周率\(\pi\)の意味と使い方
    • 円周の長さと面積の公式
  • おうぎ形
    • おうぎ形の基本用語
    • おうぎ形の弧の長さと面積の公式

平面図形の中でも苦手な人が多い円とおうぎ形の解説です。「円はわかるけど、おうぎ形の公式を覚えられません」という質問は本当に多いです!

そこでこの記事では、一般的に教えられているおうぎ形の公式より、短くて覚えやすい裏ワザ的公式を解説します。円とおうぎ形の勉強に使う時間を、違う単元や違う科目に回して、全教科の得点アップを狙いましょう!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士の僕が解説します!
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円とおうぎ形

それでは、円とおうぎ形について解説していきます。

円は用語と円周の長さ、円の面積を解説します。

おうぎ形は弧の長さとおうぎ形の面積について解説していきます。

まずは円からいきましょう!

円に関する用語

円の上に2点取り、点Aと点Bとしたとき、2点A, Bを両端とする円周の一部を『弧AB(こAB)』といい、\(\stackrel{\huge\frown}{AB}\)と表すことができます。

2点A, Bを結んだ線分を弦ABといいます。こちらは記号がありません。

また、2点A, Bと円の中心Oを結んでできる\(\angle AOB\)を『弧ABに対する中心角』といいます。

円の接線と接点

円と直線が1点だけで交わることを『直線が円に接する』といいます。

また、接している直線を『接線』、円と接戦が接している点を『接点』といいます。

接線と接点の特徴として、円の中心から接点に直線を引くと、その直線は接線に対する垂線となります。

円周率|円周の長さと円の面積

円周率とは、\(円周の長さ=直径\times円周率\)で表されます。

円周の長さを算数で習うとき、円周率はだいたい\(3.14\)くらいと習います。

しかし円周率は正確には\(3.14\)ではありません。無限小数といって無限に続く小数です。

$$円周率=3.1415\cdots$$

そのため数学では円周率を文字で表します。その文字が『\(\pi\)(パイ)』です。

「だいたい\(3.14\)だよー」ではなく、\(\pi\)とするわけです。

\(\pi\)を使った円周の長さと円の面積の公式

\(\pi\)を使うと円周の長さと円の面積は、スッキリと表すことができます。

半径\(r\)の円週の長さ\(ℓ\)と円の面積\(S\)

円周の長さℓ:\(ℓ=2\pi r\)

円の面積 S :\(S=\pi r^2\)

おうぎ形とは

おうぎ形とは、「円周上の2点の半径とその間の弧に囲まれた図形のこと」です。

おうぎ形の2つの半径によって作られる角を中心角といいます。ここは円と同じですね。

図にある通り、おうぎ形の中心角は\(180°\)より大きくなることもあります。考え方によっては、円は中心角が\(360°\)のおうぎ形と考えることもできるのです。

おうぎ形の弧の長さと面積

おうぎ形の弧の長さと面積も小学生で習った内容です。

こちらも\(\pi\)を使うことで円と同様にスッキリ表すことができます。

半径\(r\)、中心角\(α°\)のおうぎ形の弧の長さ\(ℓ\)と面積\(S\)

弧の長さ\(ℓ\) :\(ℓ=2\pi r\times \displaystyle \frac{α}{360}\)

面 積  \(S\) :\(S=\pi r^2\times \displaystyle \frac{α}{360}\)

つまり、おうぎ形の弧の長さと面積は中心角の大きさ\(α\)に比例します。

実はおうぎ形の面積を求める裏技があります。

$$S=\displaystyle \frac{1}{2}rℓ$$

です。半径\(r\)と弧の長さ\(ℓ\)がわかれば、おうぎ形の面積を求められるってことです!

円とおうぎ形の公式まとめ

最後に円とおうぎ形の重要公式をまとめましょう。

半径\(r\)の円週の長さ\(ℓ\)と円の面積\(S\)

円周の長さℓ:\(ℓ=2\pi r\)

円の面積 S :\(S=\pi r^2\)

半径\(r\)の円週の長さ\(ℓ\)と円の面積\(S\)

円周の長さℓ:\(ℓ=2\pi r\)

円の面積 S :\(S=\pi r^2\) or \(S=\displaystyle \frac{1}{2}rℓ\)

中1で習う平面図形を解説してきました!

公式や作図の方法を学んだので、あとは問題集で練習あるのみですよ!

この記事のほかに、図形の基礎から作図、図形の移動まで学べる、超詰め合わせパック記事も作成しています。数学以外の勉強に時間を回すためにも、平面図計はこの記事でサクッと勉強しましょう!

今回は以上です!

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