二次関数のグラフを書けるか書けないかの違いは、二次関数を勉強する上でもの凄い差を生み出します。逆に言えばグラフが書ければ、二次関数は怖くないということです。
ここでは、二次関数の頂点座標の見つけ方、グラフの書き方を分かりやすく解説していきます。
今回は、３つのパターンの式を使って解説していきます。
- \(y=ax^2\)
- \(y=a(x-b)^2\)
- \(y=a(x-b)^2+c\)
の３つです。
この３つのパターンを理解することができれば、二次関数の「頂点座標の見つけ方」と「グラフの書き方」が知識として手に入ります。
この「頂点座標の見つけ方」と「グラフの書き方」は二次関数の基礎でありゴールです。
この２つをしっかり理解することで、二次関数は得意科目になるでしょう！
上に示した3つのパターンは1. 二次関数の基礎、2. 二次関数の発展、3. 二次関数の応用となっています。ちなみに中学生だと2. までしか習わないのでご注意を。
二次関数の基礎：\(y=ax^2\)を理解しよう
まずは中学校で最初に習う
$$y=ax^2$$
です。この形を使って二次関数の基礎を理解していきます。
冒頭で「頂点座標の見つけ方」と「グラフの書き方」を学ぶと書きました。しかし実際に二次関数のグラフを書くには頂点座標が必要なので、この２つは同時に必要となります。
- 式から頂点を見つける
- 頂点を基準にグラフを書く
という２ステップでグラフを書くことになります。
（実際に勉強する際には書かなくてもいいんですが、グラフを書くってのが基盤となって今後の理解が楽になるので、かなり適当でもいいから書くことをお勧めします。）
では、ステップ１の頂点を見つけてみましょう！
\(y=ax^2\)の頂点を見つける
二次関数の頂点を見つけるのは、実はかなり簡単です。
だいたい頂点ってどこ？って聞かれそうですが、二次関数のグラフは絶対に「U」の字、もしくは「\(\cap\)」の字になります。これの天辺が頂点となります。
\(y=ax^2\)の形では頂点は絶対に（0, 0）です。ですので、\(y=ax^2\)のaに何が入るかによってグラフの形が決定します。
いくつか書いておくので参考にしてください。
基本的にaが大きくなれば幅が狭くなり、小さくなれば広くなります。またaが負の数なら逆さ向きになります。
二次関数：\(y=a(x-b)^2\)を理解しよう
中学の復習が終わったところで次はこの形です。数学に拒否感がある人は嫌になる形ですが、理解すれば簡単です。頑張りましょう。
グラフを書くまでの２ステップはなんでしたか？
- 式から頂点を見つける
- 頂点を基準にグラフを書く
ですね。ではまず頂点を見つけましょう。
\(y=a(x-b)^2\)の頂点を見つけよう
頂点の見つけ方は簡単です。\(y=a(x-b)^2\)の\((x-b)^2\)の部分がゼロになるxを探せばいいだけ！
つまり、\(x-b=0\)になるxを見つければいいだけです。\(x=b\)ですよね！
そして、さっきは（0, 0）を頂点にしてグラフを書きましたが、今回は（b, 0）を頂点にグラフを書くだけ。
形は\(y=ax^2\)と同じです。
つまり、下の図のように頂点の位置が変わっただけで他には何も変わっていません！！
\(y=a(x-2)^2\)なら(2, 0)を基準に、
\(y=a(x-5)^2\)なら(5, 0)を基準にするだけです。
思っているより簡単ですよね。それでは最後の形に行ってみましょう！
二次関数：\(y=a(x-b)^2+c\)を理解しよう
最後のこの形が数学Iで習う基本的な形となります。ちょっとややこしくなりましたが、難しくはありませんよ。
頂点を探してみましょう。ステップ１として、\(y=a(x-b)^2+c\)の中の\((x-b)^2\)が0となるxを探します。
つまりx＝bですね。これまでの式ですと、頂点は(b, 0)となりました。しかし今回は「＋c」が後ろについています。
これについてですが、\(y=a(x-b)^2+c\)でx＝bのときのyは何になるか考えましょう
$$\begin{align}y &=a(x-b)^2+c \\&=a(b-b)^2+c \\&=0+c \\&= c \end{align}$$
つまり、y＝cとなります。x＝bのときy＝cです。つまり頂点は(b, c)ってことです。一旦まとめましょう。
頂点のまとめ
- \(y=ax^2\)⇨頂点は(0, 0)
- \(y=a(x-b)^2\)⇨頂点は(b, 0)
- \(y=a(x-b)^2+c\)⇨頂点は(b, c)
あとは、これらの頂点から二次関数を書けばいいだけです。例えば$$y=2(x-4)^2+3$$
の場合ですと、頂点は(4, 3)です。
なので、この頂点(4, 3)から\(y=2x^2\)のグラフを書けばいいだけです。
もう一つ見てみましょう。$$y=\frac{1}{2}(x+3)^2-5$$って式があったとします。
この場合の頂点はどこでしょうか。
頂点は(-3, -5)です。(3, -5)もしくは(3, 5)と思った方はいませんか？この辺の符号は私でもたまに間違えるので、注意が必要です。
頂点が分かったので、あとは(-3, -5)をスタートして\(\frac{1}{2}x^2\)のグラフを書くだけでOKです！
今回は以上となります。
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