【二次関数】頂点座標と軸|3つの求め方【超簡単】

二次関数の問題を解くときに必要になるのが、二次関数の頂点座標です。

二次関数の頂点と軸

二次関数の頂点と軸
二次関数の頂点と軸

今回はこの頂点と軸の求め方を解説していきます!

この記事でわかること

  • 頂点座標の求め方
  • 軸の求め方
  • 軸と頂点を求める公式
トムソン
トムソン

まずは基本的な式の形から頂点座標と軸を求める方法を解説します。その後、公式で求める方法と公式の証明を解説していきますよ!

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解説する二次関数の式の形

今回解説する二次関数の式のパターンは2つです。

  1. \(y=a(x-b)^2+c\)
  2. \(y=ax^2+bx+c\)

この2パターンです。

どちらの式も2次関数の問題では出てきます。

ですが、問題を解くときには\(y=a(x-b)^2+c\)の形に変形して解く場合が多いです。

そのため、まずは\(y=a(x-b)^2+c\)の形を解説していきましょう。

そして、\(y=ax^2+bx+c\)を解説していきます。

\(y=a(x-b)^2+c\)の場合

まずは、\(y=a(x-b)^2+c\)の場合の頂点座標と軸の求め方を説明します。

頂点座標の求め方

頂点座標とは、文字通り二次関数の頂点の座標です。

\(y=a(x-b)^2+c\)のとき、頂点座標は\((b,\ c)\)という決まりがあります。

 

文字だけで出しても理解が難しいと思うので、もう少し具体例を見てみましょう。

頂点座標の具体例

\(y=a(x-3)^2+4\)

頂点座標:\((3,\ 4)\)

\(y=a(x-2)^2-5\)

頂点座標:\((2,\ -5)\)

\(y=a(x+1)^2+6\)

頂点座標:\((-1,\ 6)\)

\(y=a(x+\displaystyle \frac{1}{4})^2+\displaystyle \frac{2}{5}\)

頂点座標:\((-\displaystyle \frac{1}{4}\ \displaystyle \frac{2}{5})\)

と言った具合です。

軸の求め方

軸は頂点を通る\(y\)軸に並行な直線です。

二次関数の中心を通る線と思っておけばいいでしょう。

軸は頂点を通っているため、頂点座標の\(x\)の値が軸の方程式となるわけです。

\(y=a(x-b)^2+c\)のとき、頂点座標は\((b,\ c)\)なので、軸は\(x=b\)と書きます。

こちらも具体例を見ていきましょう。

軸の具体例

\(y=a(x-3)^2+4\)

軸:\(x=3\)

\(y=a(x-2)^2-5\)

軸:\(x=2\)

\(y=a(x+1)^2+6\)

軸:\(x=-1\)

\(y=a(x+\displaystyle \frac{1}{4})^2+\displaystyle \frac{2}{5}\)

軸:\(x=-\displaystyle \frac{1}{4}\)

となるのです。

\(y=ax^2+bx+c\)の場合

続いて、\(y=ax^2+bx+c\)の頂点座標と軸の求め方を見ていきましょう。

求め方は2つあります。

頂点座標と軸の求め方

  1. 平方完成で\(y=a(x-b)^2+c\)の形に変形する
  2. 公式を使って求める

1つ目は、平方完成\(y=a(x-b)^2+c\)の形に変形する方法です。

\(y=a(x-b)^2+c\)の形に変形できれば、頂点座標は\((b,\ c)\)なので簡単に求めることができます。

しかし、平方完成は少しテクニックが必要な計算のため、ここでは公式で求める方法を推奨します。

では、公式での求め方を解説していきます。

頂点座標と軸の公式

頂点座標と軸の公式

二次関数\(y=ax^2+bx+c\)において、

頂点座標 : \(\left( -\displaystyle \frac{b}{2a},\ \displaystyle \frac{-b^2+4ac}{4a}\right)\)

軸の方程式:\(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\)

となります。

詳しい証明は後ほど紹介するとして、具体例を見ていきましょう。

公式の具体例

【例題】

\(y=2x^2+3x-5\)のとき、二次関数の頂点座標と軸の方程式を求めよ。

【解答】

頂点座標は公式より、
\(\left( -\displaystyle \frac{b}{2a},\ \displaystyle \frac{-b^2+4ac}{4a}\right)\)

問題の二次関数は、\(a=2,\ b=3,\ c=-5\)であるから、

頂点座標:

\(\left( -\displaystyle \frac{3}{2\cdot 2},\ \displaystyle \frac{-(3)^2+4\cdot 2\cdot (-5)}{4\cdot 2}\right)\)

\(=\left( -\displaystyle \frac{3}{4},\ -\displaystyle \frac{49}{8}\right)\)

軸の方程式:

頂点座標より、\(x=-\displaystyle \frac{3}{4}\)

トムソン
トムソン

平方完成ができれば解ける問題です。しかし平方完成は計算に時間がかかるため、公式を覚えておいて損はないでしょう。検算もできますからね!

頂点座標と軸の公式|証明

では、公式を証明していきましょう!

公式の証明は平方完成を使います。

(再掲)頂点座標と軸の公式

二次関数\(y=ax^2+bx+c\)において、

頂点座標 : \(\left( -\displaystyle \frac{b}{2a},\ \displaystyle \frac{-b^2+4ac}{4a}\right)\)

軸の方程式:\(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\)

頂点座標と軸の公式|証明

\begin{eqnarray}
y&=&ax^2+bx+c \\
&=& a(x^2+\displaystyle \frac{b}{a}x)+c\\\\
&=& a(x+\displaystyle \frac{b}{2a})^2-(\displaystyle \frac{b}{2a})^2-c\\\\
&=&a(x+\displaystyle \frac{b}{2a})^2-(\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}+c)\\\\
&=&a(x+\displaystyle \frac{b}{2a})^2-(\displaystyle \frac{b^2-4a^2c}{4a^2})\\\\
&=&a(x+\displaystyle \frac{b}{2a})^2+\displaystyle \frac{-b^2+4a^2c}{4a^2}
\end{eqnarray}

このように変形できる。

 

\(y=a(x-b)^2+c\)の頂点座標は\((b,\ c)\)であるため、

\(y=ax^2+bx+c\)の頂点座標は、 \(\left( -\displaystyle \frac{b}{2a},\ \displaystyle \frac{-b^2+4ac}{4a}\right)\)である。

軸の方程式は\(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\)となる

トムソン
トムソン

微分を使えばもっと簡単にできるから、番外編として最後に紹介します!

番外編|微分で求める頂点座標

微分が使えるなら、知っておきたい頂点を求める方法があります。

微分は関数の傾きを求める計算です。

そして、二次関数の頂点では絶対に傾きが\(0\)になることを利用した方法です。

実際にやってみましょう。

【例題】

\(y=2x^2-8x+5\)の頂点座標を求めなさい。

このとき\(y\)を\(x\)で微分すると、この関数の傾きを出すことができます。

\(y’=4x-8\)と言った具合です。

 

説明した通り、二次関数の頂点は傾きが\(0\)になります。

逆に言えば、\(y’=0\)の点が頂点となるのです。

【解答】

\(y’=4x-8\)なので、\(x=2\)のとき\(y’=0\)となる。

\(y=2x^2-8x+5\)で\(x=2\)を代入すると、

\(y=2\cdot 2^2-8\cdot2+5=-3\)となる。

以上より、頂点座標は\((2,\ -3\)である。

もちろん頂点座標と軸の公式の証明にも使えます。

頂点座標と軸の公式|証明(微分編)

\(y=ax^2+bx+c\)のとき、\(y’=2ax+b\)である。

\(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\)のとき、\(y’=0\)となる。

また、\(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\)を\(y\)に代入すると、

\begin{eqnarray}
y &=&a \left( -\displaystyle \frac{b}{2a} \right)^2+b\left( -\displaystyle \frac{b}{2a}\right)+c \\\\
&=&\displaystyle \frac{b^2}{4a}-\displaystyle \frac{b^2}{2a}+c\\\\
&=&\displaystyle \frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\\\\
&=& \displaystyle \frac{-b^2+4ac}{4a}
\end{eqnarray}

以上より、頂点座標は \(\left( -\displaystyle \frac{b}{2a},\ \displaystyle \frac{-b^2+4ac}{4a}\right)\)

となります。

まとめ

二次関数の頂点座標と軸のまとめです。

  • \(y=a(x-b)^2+c\)の頂点座標は\((b,\ c)\)
  • \(y=ax^2+bx+c\)の場合は公式を使う
  • 公式の証明は平方完成か微分を使うとできる

となります!

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