余弦定理で三角形の面積を求める方法

余弦定理から三角形の面積を求める公式を解説します。

余弦定理

三角形\(ABC\)において、\(AB=c,\ BC=a,\ CA=b\)とするとき下記の式が成り立つ。

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\
b^2=c^2+a^2-2ca \cos B\\
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$$

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余弦定理から三角形の面積を求める

三角形の3辺の長さがわかっている場合、余弦定理を使うことで面積をもとめることができます。

例題を通して解説します。

例題

3辺の長さが分かっている三角形ABC
3辺の長さが分かっている三角形ABC

図のような三角形の面積を求めよ。

解答

面積は\(2\sqrt{66}\)です。

解き方は余弦定理を使って、角度を出してあげて、2辺とその間の角から面積の公式で計算します。

余弦定理で面積を求める方法

三角比で習う面積の公式は

$$S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$$

です。
今\(b=5,\ c=10\)が分かっています。

\(\sin A\)がわかれば面積Sを求めることができますね。

\(\sin A\)を求めるために、\(\sin^2 A+\cos^2 B=1\)の式と余弦定理を使います。
余弦定理を変形すると、角度を求めることができます。

$$\cos A = \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

ここに3辺の長さを代入すると、

\begin{eqnarray} \cos A &=& \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\
&=&\displaystyle \frac{25+100-49}{100} \\
&=&\displaystyle \frac{76}{100} \\
&=& \displaystyle \frac{19}{25}\end{eqnarray}

\(\sin^2 A+\cos^2 B=1)\より、

\begin{eqnarray} \sin A &=& \sqrt{1-\cos^2 A} \\
&=& \sqrt{\displaystyle \frac{25^2-19^2}{25^2}} \\
&=&\displaystyle \frac{2\sqrt{66}}{25}\end{eqnarray}

となります。

最後に求めた\(\sin A\)を面積の公式に代入すると、面積が計算できます。

\begin{eqnarray} S&=&\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}50\displaystyle \frac{2\sqrt{66}}{25}\\
&=& 2\sqrt{66}\end{eqnarray}

よって、面積は\(2\sqrt{66}\)となります。

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