正弦定理の公式と証明、使い方などを紹介していきます。
正弦定理とは
まずは正弦定理とは何か確認しましょう
三角形ABCがあるとき、以下の式が成り立つ。
$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\displaystyle \frac{b}{\sin B}=\displaystyle \frac{c}{\sin C}$$
また、三角形ABCに外接する半径Rの円がある時、以下の式も成り立つ。
$$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R$$
正弦定理は
- 三角形の角度から辺の長さを求める
- 三角形の辺から角度を求める
- 外接円の半径を使って角度や辺の長さを求める
- 三角形から外接円の半径を求める
などの様々な使い方ができる、とっても便利な定理です。
今回はそんな正弦定理の公式と証明、使い方などを紹介していきたいと思います！
正弦定理の証明１
では、証明に移りましょう。
まずは、外接円を考えないで三角形部分のみの証明を行います。
具体的には下記の式を証明していきます！
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
正弦定理の証明｜三角形のみ
三角形\(ABC\)の頂点\(A\)から辺\(a=BC\)に向けて垂線を下ろす。
辺aのと垂線の交点を\(P\)とする。
線分APは下記の２つの式で表すことができる。
$$AP=b\sin C$$
$$AP=c\sin B$$
これらの式をイコールで結び計算すると、
\begin{eqnarray} b\sin C&=&c\sin B\\
\displaystyle \frac{b}{\sin B} &=&\displaystyle \frac{c}{\sin C} \end{eqnarray}
となる。
$$∴\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
同様に、頂点\(B\)から垂線を辺\(b=AC\)に降ろし、垂線と辺bの交点をQとする。
線分BQは下記の式で表すことができる。
$$BQ=c\sin A=a\sin C$$
以上より、下記の式が得られる
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
正弦定理の証明２
ここまでで、半分証明完了です。
ここからは外接円を含めた証明を行います！
$$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R$$
この式の証明です。
円周角の定理の復習
円周角の定理は、ざっくり言うと『中心角は円周角の２倍』という定理です。
※参考記事
正弦定理と外接円の証明
では下の図を見てみましょう。
三角形ABCと外接円を表しています。
\(∠B\)と\(∠C\)から、円の中心である点Oに向かって線を引きます。
点Oから辺aに垂線を下ろします。
垂線と辺aの交点をPとする。
線分OBと線分OCは円の半径なので、\(OB=OC\)
つまり△OBCは二等辺三角形なので、
\begin{eqnarray} BP &=& PC\\∠POB&=&\displaystyle \frac{1}{2}∠BOC\end{eqnarray}
となる。
\(∠POB\)のサインを変形表すと、
$$\sin ∠POB=\frac{BP}{OB}=\frac{a}{2}\displaystyle \frac{1}{R}=\displaystyle \frac{1}{2R}\tag{1}$$
となる。
\(∠BAC\)は、円周角の定理より中心角\(∠BOC\)の半分なので、
$$∠POB=\displaystyle \frac{1}{2}∠BOC=∠BAC=∠A\tag{2}$$
となる。
(1)式に(2)式を代入すると、
$$\sin ∠POB=\sin A=\frac{a}{2R}\Leftrightarrow\frac{a}{\sin A}=2R$$
同様に∠B、∠Cも証明計算できる。
$$∴\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}＝２R$$
【重要】三角関数の公式一覧
三角関数は公式を知っているかどうかで、勝負が決まります。
正弦定理以外の重要公式も全てまとめたので、確認しましょう。
コメント