このページでは、sin 91° = 0.999847…を三角関数表を使わずに求めるやり方について共有します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の算出方法を明らかにしていきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin91°の求め方説明です。
$$\sin 91°=0.999847…$$
sin 91°を10桁表す
初めに、sin 91°を10桁確認してみましょう！$$\sin 91° = 0.9998476951 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin91°の値を明らかにする
三角関数表を活用せずにsin91°の値を算出する手法は3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。
2のやり方だと、導出過程が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。
マクローリン展開でsin91°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 91°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.588249…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 91°\)を求められます。
$$\sin 91° = 0.999847…$$
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