今回は三角関数の定義について解説していきます。
三角比を考えると\(\theta\lt90^{\circ}\)は簡単に分かるけど、\(\theta\geq 90^{\circ}\)は結構難しいという意見を多く聞きます。
角度が\(90^{\circ}\)以上の場合って\(\sin\)や\(\cos\)はどうやって求めるのかな？
そもそも三角関数って何だっけ？三角比とは違うのかな？
今回はこう言った疑問に答えていきたいと思います！
この記事で分かること
- 三角関数の考え方
- 三角関数の定義
- 鈍角の三角比（三角関数）の求め方
最後まで読んでいただけると光栄です！
三角比の復習
本題に入る前に、まずは三角比の復習です。
「上の２つの三角形を覚えよう！」なんかはよく言われますよね。
少し確認してみましょう。
例えば、\(\cos 30°\)は何か分かりますか？
$$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
となります。あれ？？？って方は以下の記事を読んでみてくださいね！
さて、本題に移ります。先ほどの三角形もそうですが、これまで三角比を計算した角度は全て90°未満です。
「もし角度が90°以上になるとどうなるんだろう？」この質問はとても多いです。
もちろん90°以上の鈍角の三角比（三角関数）も存在します。
鈍角の場合の計算を簡単にするために、また、今後でてくる公式をなるべく覚えなくて済むように、ここでしっかりと【三角関数の定義】を確認しておきましょう！
三角関数の定義
これまでの直角三角形で考えてきた\(\sin, \cos, \tan\)は三角比と呼ばれています。
鈍角を考える場合は円で考える必要があります。鈍角がある三角形は直角三角形にならないからです。
三角関数は名前に三角があるのですが、実は円で考えることで理解が深まります。
下の図をみてみましょう！
原点を中心とした、半径rの半円を考えます。この円の上に点P（X, Y)を適当に置きます。原点Oと点Pを結ぶ線を引くと、それによってできた角度を\(\alpha\)とします。
この時の三角関数はそれぞれ、
\begin{eqnarray} \sin α&=&\frac{Y}{r}\\
\cos α&=&\frac{X}{r}\\
\tan α&=&\frac{Y}{X}\end{eqnarray}
となります。
分からない方は難しく考えないで、「まあそうだとしよう！」みたいな割り切りを持つといいと思います。理解は後からついてくるので！
今α＜90°ですよね。では鈍角ならどうなるのか・・・
鈍角の場合はどうなるの？
結論から言うと同じです！
αが鈍角になろうと、αが鋭角だろうと結局同じなのです。
\begin{eqnarray} \sin α&=&\frac{Y}{r}\\
\cos α&=&\frac{X}{r}\\
\tan α&=&\frac{Y}{X}\end{eqnarray}
つまり、これが三角関数の定義なのです。
三角関数の定義
では、三角関数の定義を確認しておきましょう！
これです！簡単ですね！半径rの円を考えるのが少し厄介ですが、これさえ覚えておけばいいので超余裕です！
ちなみにsin, cos, tanの覚え方は三角関数の基礎の記事に書いてあります！
鈍角の三角関数を計算してみよう
さて、定義が分かればもう最強！実際に計算してみましょう！
例題
135°のsin, cos, tanを求めよ。
さっきまでは半径\(r\)の円を考えてましたが、半径を１として計算してみましょう！理由は計算が楽になるので。笑
もちろん半径rでも計算結果は同じになります。
解答
以下解答です。
点Pの座標(X, Y)は$$X=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$Y=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
です。あとは定義に当てはめるだけ！
答え
$$\sin 135°=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\cos 135°=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\tan 135°=-1$$
まとめ
三角関数の定義を解説しました。
最初は理解が難しい面もあるかと思いますが、今後何か迷ったらこの定義をもとに考えればOKです！それが定義のすごいところで、どんな場面でもこの定義は成り立ちます。
ぜひとも定義だけはしっかり覚えてくださいね。（暗記は必要ありません！）
お気軽にコメントください！ 質問でも、なんでもどうぞ！