【三角関数の定義】鈍角の三角比を工学博士が解説【完全に理解できます】

今回は三角関数の定義について解説していきます。

三角比を考えると\(\theta\lt90^{\circ}\)は簡単に分かるけど、\(\theta\geq 90^{\circ}\)は結構難しいという意見を多く聞きます。

かえるん
かえるん

角度が\(90^{\circ}\)以上の場合って\(\sin\)や\(\cos\)はどうやって求めるのかな?

そもそも三角関数って何だっけ?三角比とは違うのかな?

今回はこう言った疑問に答えていきたいと思います!

この記事で分かること

  • 三角関数の考え方
  • 三角関数の定義
  • 鈍角の三角比(三角関数)の求め方

最後まで読んでいただけると光栄です!

三角比の復習

今までは「上の2つの三角形を覚えよう!」であったり、よく使う公式なんかも紹介しましたね。少し確認してみましょう。

例えば、\(\cos 30°\)は何か分かりますか?

$$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

となります。あれ???って方は以下の記事を読んでみてくださいね!

さて、本題に移ります。これまで扱ってきた角度は全て90°未満です。

「もし角度が90°以上になるとどうなるんだろう?」この質問はとても多いです。

もちろん90°以上の鈍角の三角関数も存在しています。

鈍角の場合の計算を簡単にするために、また、今後でてくる公式をなるべく覚えなくて済むように、ここでしっかりと【三角関数の定義】を確認しておきましょう!

三角関数の考え方

これまでの直角三角形で考えてきた\(\sin, \cos, \tan\)は三角比と呼ばれています。

鈍角を考える場合は三角関数で考える必要があります。鈍角がある三角形は直角三角形にならないからです。

三角関数は名前に三角があるのですが、実は円で考えることで理解が深まります。

下の図をみてみましょう!

原点を中心とした、半径rの半円を考えます。この円の上に点P(X, Y)を適当に置きます。原点Oと点Pを結ぶ線を引くと、それによってできた角度を\(\alpha\)とします。

この時の三角関数はそれぞれ、

\begin{eqnarray} \sin α&=&\frac{Y}{r}\\
\cos α&=&\frac{X}{r}\\
\tan α&=&\frac{Y}{X}\end{eqnarray}

となります。

分からない方は難しく考えないで、「まあそうだとしよう!」みたいな割り切りを持つといいと思います。理解は後からついてくるので!

今α<90°ですよね。では鈍角ならどうなるのか・・・

鈍角の場合はどうなるの?

結論から言うと同じです!

αが鈍角になろうと、αが鋭角だろうと結局同じなのです。

\begin{eqnarray} \sin α&=&\frac{Y}{r}\\
\cos α&=&\frac{X}{r}\\
\tan α&=&\frac{Y}{X}\end{eqnarray}

つまり、これが三角関数の定義なのです。

三角関数の定義

では、三角関数の定義を確認しておきましょう!

これです!簡単ですね!半径rの円を考えるのが少し厄介ですが、これさえ覚えておけばいいので超余裕です!

ちなみにsin, cos, tanの覚え方は三角関数の基礎の記事に書いてあります!

鈍角の三角関数を計算してみよう

さて、定義が分かればもう最強!実際に計算してみましょう!

例題

135°のsin, cos, tanを求めよ。

さっきまでは半径\(r\)の円を考えてましたが、半径を1として計算してみましょう!理由は計算が楽になるので。笑

もちろん半径rでも計算結果は同じになります。

解答

以下解答です。

点Pの座標(X, Y)は$$X=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$Y=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

です。あとは定義に当てはめるだけ!

答え

$$\sin 135°=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\cos 135°=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\tan 135°=-1$$

まとめ

三角関数の定義を解説しました。

最初は理解が難しい面もあるかと思いますが、今後何か迷ったらこの定義をもとに考えればOKです!それが定義のすごいところで、どんな場面でもこの定義は成り立ちます

ぜひとも定義だけはしっかり覚えてくださいね。(暗記は必要ありません!)

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