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三角関数表のコサインの表におけるcos123°の導出

それでは、cos 123° = -0.54464…を三角関数表を使わずに求める処理方法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に光を当てて、値の求め方を解説していきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
本解説では、cos123°の算出方法解説です。

$$\cos 123°=-0.54464…$$

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cos 123°を10桁確認

まずは、cos 123°を10桁表してみましょう!$$\cos 123° = -0.5446390351 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos123°の値を算出する

三角関数表を使用せずにcos123°の値を計算するやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。

  1. 分度器用いて123°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を活用して解く

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を解説します。

マクローリン展開でcos123°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を使うと\(\cos x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 123°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.146754…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 123°\)を求められます。

$$\cos 123° = -0.54464…$$

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