この記事では、sin 102° = 0.978147…を三角関数表を使わずに求める方法について解説していきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の求め方を解説していきます。
サインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
この記事では、sin102°の計算の仕方紹介です。
$$\sin 102°=0.978147…$$
10桁のsin 102°を書いてみる
最初に、sin 102°を10桁表してみましょう！$$\sin 102° = 0.9781476007 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin102°の値を解く
三角関数表を使用せずにsin102°の値を計算するやり方は3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2の方法だと、導出過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。
マクローリン展開でsin102°を求める
マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 102°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.780235…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 102°\)を求められます。
$$\sin 102° = 0.978147…$$
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