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三角関数表のサインの表におけるsin104°を解く

このページでは、sin 104° = 0.970295…を求めるやり方について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の求め方を解説していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

角度角度
sin1°0.017452sin2°0.034899
sin3°0.052335sin4°0.069756
・・・・・・
sin30°$\displaystyle \frac{1}{2}$sin45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$sin90°1

参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、sin104°の計算の仕方説明です。

$$\sin 104°=0.970295…$$

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sin 104° を10桁調べる

唐突ではありますが、sin 104°を10桁書いてみましょう!$$\sin 104° = 0.9702957262 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin104°の値を計算する

三角関数表を使用せずにsin104°の値を算出する方法は3つあります。

  1. 分度器を使用して104°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、計算がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin104°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)から\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 104°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.815142…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 104°\)を求められます。

$$\sin 104° = 0.970295…$$

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