三角関数表のサインの表におけるsin106°の導出

本解説では、sin 106° = 0.961261…を三角関数表を使わずに求める仕方について解き明かしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の求め方を説明していきます。

サインの表とはこのような表のことです。

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、sin106°の算出方法説明です。

$$\sin 106°=0.961261…$$

sin 106° を10桁表す

唐突ではありますが、sin 106°を10桁調べてみましょう！$$\sin 106° = 0.9612616959 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を参照せずにsin106°の値を解く手法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の方法だと、途中の計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開によって、下記の式で$\sin x$を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$が分かれば$\sin x$の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 106°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.850049…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 106°$を求められます。

$$\sin 106° = 0.961261…$$